Os números reais, juntamente com outros conjuntos numéricos que exploraremos nesta aula, são introduzidos através da expansão dos números naturais. Acontece que, com quaisquer dois números naturais, nem sempre é possível realizar operações de subtração ou divisão, e estas expansões visam resolver este inconveniente.

Durante esta aula, revisaremos as operações e propriedades dos números naturais, e com base nisso, avançaremos para a construção de todos os outros conjuntos numéricos, até atingir os números reais e além.

Propriedades dos Números Naturais

Ao abordar as operações com números naturais, referimo-nos principalmente à soma e ao produto, juntamente com suas respectivas operações inversas. A seguir, resumem-se estas propriedades:

Dado que a,b,c\in\mathbb{N}, verifica-se que:

Transição dos Números Naturais para os Inteiros

O primeiro aspecto a notar é que no caso das somas: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N}), enquanto que para as subtrações: (\forall a,b\in\mathbb{N})(a+b\in\mathbb{N} \leftrightarrow a\gt b). Um inconveniente surge quando a subtração entre dois números naturais a e b não faz sentido se a\leq b; para remediar esta situação, expandem-se os números naturais ao conjunto dos números inteiros, onde as subtrações desta natureza adquirem um valor bem definido. Denotamos este novo conjunto dos números inteiros com a letra \mathbb{Z}, e compõe-se de todos os números naturais, seus inversos aditivos e o zero.

\mathbb{Z} = \{\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}

Os números inteiros herdam todas as propriedades e operações dos números naturais, com uma extensão sobre a segunda propriedade, e introduzem-se as noções de inverso e neutro aditivo.

O elemento b=-a é o que denominamos inverso aditivo de a.

O Salto para os Números Racionais

Neste ponto, a única operação que nos resta sem definir corretamente é a divisão. Para resolver isso realizaremos uma expansão sobre o conjunto dos números inteiros ao conjunto dos números racionais, que será dado pelo seguinte conjunto:

\mathbb{Q}=\left\{a= \displaystyle\frac{n}{m}\;|\;n,m\in\mathbb{Z}\wedge m\neq 0 \right\}

Com isso adquire-se uma nova propriedade

Com estes números, operações e propriedades definem-se novas operações com suas propriedades. Nestes define-se a potência n-ésima de um racional q através de

q^n = \underbrace{q\cdot q \cdot \cdots \cdot q}_{n\;vezes}; com n\in\mathbb{N}

q^{-n}= \displaystyle \frac{1}{q^n}

Notemos que, a partir disso, e sempre que q\neq 0, podemos dizer que

q^0 = 1

Além disso, sempre que aparecerem divisões por zero, dados dois racionais quaisquer a,b , e dois inteiros n,m cumprir-se-ão as seguintes propriedades:

Números Reais e Irracionais

Assim como a operação da subtração (inversa da soma) e a divisão (inversa do produto) fizeram necessário expandir os naturais aos inteiros e racionais, respectivamente, para formar operações bem definidas, de forma análoga ocorre com as potências. A operação inversa da n-ésima potência é a raiz n-ésima.

Definição de Raiz

Seja n um inteiro maior que 1 e p,q números racionais quaisquer, define-se a raiz n-ésima de q, que representamos através das seguintes regras:

Em resumo, a n-ésima raiz de q é um número p tal que, ao ser elevado a n, te devolve o número q. Nestes casos, quando n=2, em vez de escrever \sqrt[2]{q}, por simplicidade escrevemos \sqrt{q}.

A Aparição dos Números Irracionais

Chegados a este ponto é quando nos perguntamos Estará bem definida a raiz n-ésima para todos os elementos de \mathbb{Q}? A verdade, é que apesar de não ser tão evidente (em comparação ao visto com a subtração e a divisão), existem racionais que não têm raiz n-ésima racional. Para ver isso basta com revisar o seguinte exemplo:

\sqrt{2} não é um número racional.

DEMONSTRAÇÃO

Provaremos isso por redução ao absurdo.

Suponhamos que \sqrt{2} seja um número racional, isto é, que existem p,q\in\mathbb{Z}, com q\neq 0, tais que \sqrt{2}=p/q, e que além disso foi simplificado até ficar irredutível. Se o fazemos então podemos dizer que

2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 =\displaystyle \frac{p^2}{q^2} = \left(\displaystyle \frac{p}{q}\right)^2

Mas isso entra em contradição com o fato de que p/q estava escrito em forma irredutível (agora resulta que se pode simplificar (p/q)^2 e seu resultado é 2). Como o supor que \sqrt{2} é racional produz uma contradição, então este não pode ser um número racional e dizemos, em consequência, que é irracional.

A Expansão para os Números Reais

Esses resultados evidenciam o fato de que, para definir corretamente a raiz n-ésima, é necessário ampliar os racionais para um novo conjunto, este é o conjunto dos números reais, que denotamos por \mathbb{R} e que contém tanto os racionais quanto os irracionais.

\mathbb{R}= \mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}^*

Os Complexos: A Cláusula Algébrica dos Números Reais

Neste ponto, devemos notar duas coisas: (1) quando n é par, a raiz n-ésima fica multivalorada e, (2) se também tentarmos calcular \sqrt[n]{q} com q\lt 0, veremos que tal número não pode ser um número real.

O primeiro é resolvido definindo a raiz principal, aplicando uma pequena alteração no ponto (17) que fala sobre a definição da raiz, ficando da seguinte maneira:

O segundo é conseguido expandindo o conjunto dos reais para o conjunto dos números complexos \mathbb{C}, mas essa construção será para mais tarde.